Práctica 1: Sensores Inteligentes

Modelos dinámicos y sensores inteligentes

*Objetivo:* Comprender cómo los modelos dinámicos pueden representar el comportamiento de sensores inteligentes, donde los parámetros físicos del sistema actúan como mecanismos de transducción.

*Motivación:* En los sensores inteligentes, los parámetros físicos (como resistencia, capacitancia, inductancia, masa o rigidez) pueden variar ante una magnitud física a medir (por ejemplo, temperatura, presión o aceleración). Estas variaciones se traducen en cambios en la dinámica del sistema, que pueden modelarse matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales o representaciones en espacio de estados. De esta forma, un sensor puede considerarse como un sistema dinámico cuyo comportamiento depende de parámetros sensibles a la variable de interés.

*Procedimiento:* La práctica está dividida en dos secciones. Lee detenidamente la descripción de cada paso, y en caso de que exista un fragmento de código, deberás transcribirlo en un archivo .mlx (LiveScript) de MATLAB, y responder las preguntas de cada sección.

Sección 1. Modelo de circuito eléctrico

Un sensor de proximidad inductivo o un sensor de desplazamiento LVDT (Linear Variable Differential Transformer) puede modelarse, en su parte eléctrica, como un circuito RLC en serie, como el mostrado en Figura 1.

Figura 1. Circuito RLC en serie.

Estos sensores cambian su inductancia L (y a veces su resistencia efectiva R) según la posición de un núcleo móvil o un objeto metálico cercano.

Paso 1. Modelo eléctrico equivalente

Dado que este circuito de la Figura 1 es de una sola malla, cada nodo tiene una sola entrada y una sola salida; por lo tanto, la corriente

es la misma en todo el circuito en cualquier instante de tiempo. Ahora, aplicando la ley de voltajes de Kirchoff (LVK) a la malla y utilizando las convenciones de signos indicadas en el diagrama, llegamos a la siguiente ecuación que rige un circuito RLC en serie

donde

es la señal de voltaje de excitación o entrada,

es la corriente de respuesta,

es la inductancia dependiente de la posición x, R es la resistencia del embobinado y C es la capacitancia parásita del devanado y los cables.

Sin embargo, podemos observar que la expresión (1) corresponde a una ecuación integro-diferencial, cuya solución no es trivial. Para ello, haremos uso de dos representaciones alternativas denominadas: i) Función de transferencia y ii) Modelo en espacio de estados.

Preguntas de la sección:

Investiga el concepto y utilidad de la representación en función de transferencia de un sistema dinámico.
Investiga el concepto y utilidad de la representación en espacio de estados de un sistema dinámico.

Paso 2. Función de transferencia

Como primer paso, es necesario definir quienes serán las variables de entrada y salida del sistema. Para el caso del circuito RLC podemos establecer que la entrada corresponde al voltaje

, mientras que la salida será el voltaje en el capacitor,

. Posteriormente, al aplicar la transformada de Laplace,

, a la ecuación (1), obtenemos que

Siguiendo las propiedades la transformada de Laplace, ésta puede ser aplicada a cada término de la expresión (2), tal que

A continuación, debemos realizar algunas operaciones algebraicas para expresar la ecuación anterior como la salida dividida por la entrada, esto es

. En este caso, la entrada es

y la salida es

. Por lo tanto, debemos eliminar el valor actual

de la ecuación (3), ya que no es ni entrada ni salida, e introducir la salida

en la ecuación. Al despejar

en la ecuación anterior, obtenemos lo siguiente

De la ecuación (4) es fácil reconocer que que el voltaje en el capacitor corresponde al tercer termino (integral) de la ecuación (2). Tomando la transformada de Laplace de dicho término y resolviendo para la corriente, se tiene que

Así, igualando (4) y (5), y reorganizando términos para lograr que

, el modelo de función de transferencia del circuito RLC de la Figura 1 es

El siguiente fragmento de código se encarga de simular la función de transferencia de la ecuación (4) considerando una señal de entrada de la forma

y una inductancia inicial debido a la posición inicial

. Transcribe el siguiente fragmento de código en un LiveScript de MATLAB con extensión .mlx

clear; clc; close all;

%% Parámetros base

R = 10; % Resistencia (ohms)

C = 10e-6; % Capacitancia (faradios)

L0 = 5e-3; % Inductancia base (henris) para la posición inicial x=0

Amp = 0.1; % amplitud de excitación (voltios)

f = 1000; % frecuencia de excitación (Hz)

%% Señal de entrada

t = linspace(0, 0.02, 5000); % 20 ms

Vin = Amp * sin(2*pi*f*t);

% Función de transferencia: I(s)/Vin(s) = s / (L C s^2 + R C s + 1)

num = [1]; % numerador: s

den = [L0*C, R*C, 1]; % denominador: L(x)*C s^2 + R*C s + 1

sys = tf(num, den);

% Respuesta temporal

y = lsim(sys, Vin, t);

figure('Color', 'w');

plot(t*1000, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);

grid on;

set(gca, 'Color', 'w', ...

'XColor', 'k', ...

'YColor', 'k', ...

'GridColor', 'k', ...

'GridAlpha', 0.2);

xlabel('Tiempo (ms)', 'Color', 'k');

ylabel('Voltaje (V)', 'Color', 'k');

title('Voltaje a la salida del sensor', 'Color', 'k');

Preguntas de la sección:

¿Qué patrón observa en la señal de voltaje?
Modifica el código anterior para que la inductancia inicial sea modificada por un coeficiente de variación de la inductancia con la posición.

AYUDA:

L0 = 5e-3;       % Inductancia base (henris)
kL = 2e-3;       % Coeficiente de variación de L con la posición
x_values = [0, 2, 4]; % posiciones (mm)
 
for i = 1:length(x_values)
    x = x_values(i);
 
    % Inductancia dependiente de la posición
    L(i) = L0 + kL * x;
end

Paso 3. Análisis de la frecuencia de resonancia

El parámetro variable

actúa como mecanismo de transducción: a medida que cambia la posición x, se modifica la inductancia y, por tanto, la respuesta dinámica del sistema RLC (su frecuencia de resonancia y su amplitud).

La frecuencia de resonancia del circuito es:

Por lo tanto, un cambio en x altera

, lo cual puede detectarse midiendo:

el corrimiento de la frecuencia resonante,
la amplitud de la corriente, o
la fase entre corriente y voltaje.

Así, se obtiene una medida eléctrica de una magnitud mecánica (posición o distancia).

En tu LiveScript, agrega el código necesario para calcular la frecuencia de resonancia para las tres posiciones x_values = [0, 2, 4], almacenalos en un arreglo llamado w_o, e imprime dichos valores en la consola usando la función fprintf().

Preguntas de la sección:

Realiza una gráfica de w_o como función de x_values.
¿Qué tendencia muestra la relación entre las variables?
Realiza un ajuste de los datos a un modelo lineal. ¿Cuál es el valor de la pendiente y cuales son sus unidades?

Sección 2. Modelo en espacio de estados

En ingeniería clásica, los sistemas eléctricos, mecánicos o térmicos suelen representarse mediante funciones de transferencia, que relacionan una entrada (por ejemplo, voltaje o fuerza) con una salida (corriente, desplazamiento, velocidad, etc.).

Sin embargo, cuando queremos diseñar sensores inteligentes o sistemas de estimación adaptativa, necesitamos algo más que la simple relación entrada-salida. Requerimos describir la dinámica interna del sistema, es decir, cómo evolucionan las variables de estado en el tiempo.

Algunas ventajas del modelo en espacio de estados (SS: state-space) son:

Representa toda la dinámica interna: A diferencia de la función de transferencia, que describe solo la relación entre entrada y salida, el modelo en espacio de estados incorpora las variables internas (por ejemplo, corriente o voltaje del capacitor), permitiendo observar y estimar su evolución.
Adecuado para sistemas multivariables: Permite modelar sistemas con múltiples entradas y salidas (MIMO), algo complejo con funciones de transferencia.
Ideal para implementación en sensores inteligentes: En sensores modernos (como los basados en microcontroladores o DSPs), se implementan filtros, observadores y estimadores en tiempo real. Estos algoritmos requieren un modelo en forma de ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, en espacio de estados.
Base para técnicas avanzadas: Los modelos en espacio de estados son esenciales en:
Observadores de Luenberger y de Kalman (filtrado y estimación).
Controladores modernos (LQR, MPC).
Identificación de sistemas (N4SID, subespacios, RLS adaptativo).
Sensores auto-calibrables y basados en modelo.

Paso 1. Derivación del modelo en espacio de estados del circuito RLC serie

Consideremos el circuito RLC de la Figura 1, cuyo modelo está dado por

Por simplicidad, denotaremos a la inductancia dependiente de la posición como L sin explicitar su dependencia de la posición

1.1 Elegir las variables de estado

Las variables de estado son aquellas que describen la energía almacenada en un sistema y determinan completamente su comportamiento dinámico en cualquier instante de tiempo. Para el circuito RLC descrito por la ecuación (1), una selección natural de las variables de estado es

Por simplicidad usaremos la notación

, para la primera derivada y

para la segunda derivada. Por lo tanto, al derivar las variables de estado en (9) tenemos que

El resultado anterior nos permite relacionar a las variables de estado y sus derivadas, lo cual será util para construir el modelo en espacio de estados (SS: state-space).

1.2 Escribir la ecuación del inductor

Del circuito, sabemos que

Sustituyendo las variables de estado descritas en (10), en la ecuación (11), se tiene que

Despejando el término que contiene la derivada en (12), llegamos a

1.3 Representación matricial

La idea fundamental es entonces escribir a la ecuación diferencial (13) como un modelo en espacio de estados (SS: state-space) para un sistema lineal e invariante con el tiempo (LTI: linear time-invariant) de la forma. Así, un modelo SS es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE: ordinary differential equation) de primer orden, cuya estructura general es

En el caso del circuito RLC, las ODE de primer orden están dadas por (13) y (10), las cuales se escriben a continuación como un sistema de ecuaciones

Por comparación, el sistema en (15) puede escribirse en notación matricial para obtener la forma de la expresión (14) como sigue

La ecuación (16) se conoce como ecuación de estado.

Finalmente, de acuerdo con la estructura del modelo en (14), es posible escribir una segunda ecuación, llamda ecuación de salida. Para el caso del circuito RLC, la ecuación de salida corresponde a la medición del voltaje en el capacitor, y está dada por

Preguntas de la sección:

¿Cómo se modificaría la ecuación (17) sí la variable a medir fuera la corriente?
Al comparar las ecuaciones (16) y (17) con la ecuación (14), escriba a quién corresponde la matriz del sistema A, la matriz de entrada B, y la matriz de salida C.

Paso 3. Simulación del modelo en espacio de estados

3.1. Estimación del modelo

Una vez establecida la estructura del modelo dinámico, el siguiente fragmento de código es útil para simular el modelo SS, el cual deberás trasncribir en tu archivo .mlx

%% Parámetros base

R = 10; % Resistencia (ohms)

C = 10e-6; % Capacitancia (faradios)

L0 = 5e-3; % Inductancia base (henrios)

kL = 2e-3; % Coeficiente de variación de L con la posición

Amp = 0.1; % amplitud de excitación (voltios)

f = 1000; % frecuencia de excitación (Hz)

%% Señal de entrada

t = linspace(0, 0.02, 5000); % 20 ms

Vin = Amp * sin(2*pi*f*t);

% Matrices del modelo en espacio de estados

A = [-R/L0, -1/L0; 1/C, 0];

B = [1/L0; 0];

Cmat = [0, 1]; % salida: voltaje en el capacitor

D = 0;

sys = ss(A, B, Cmat, D);

% Simulación de la respuesta

y = lsim(sys, Vin, t);

figure('Color', 'w');

plot(t*1000, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);

grid on

set(gca, 'Color', 'w', ...

'XColor', 'k', ...

'YColor', 'k', ...

'GridColor', 'k', ...

'GridAlpha', 0.2);

xlabel('Tiempo (ms)', 'Color', 'k')

ylabel('Voltaje (V)', 'Color', 'k')

title('Voltaje a la salida del sensor', 'Color', 'k')

Como resultado, se puede observar la señal asociada a la medición del voltaje en el capacitor.

Preguntas de la sección:

¿Cuál es la función del comando ss()?
En una misma gráfica compara la señal obtenida por la función de transferencia y la obtenida por el modelo en espacio de estados. ¿Observas alguna diferencia?

Reflexión final

En esta práctica estudiamos como procesar, analizar y trabajar la señal de un sensor de proximidad inductivo o un LVDT simplificado puede modelarse como un circuito RLC en serie, donde la inductancia dependiente de la posición

constituye el mecanismo de transducción.

Para fines de estudio, se mostraron dos estructuras de modelo que permiten representar la dinámica del sensor, i) función de transferencia y ii) modelo en espacio de estados. Estos modelos permite analizar, desde distintas perspectivas, la dinámica del sensor, cuyos parémetros son útiles para diseñar técnicas de diagnóstico o autocalibración en sensores inteligentes.

Ejercicio para el estudiante

Una vez estudiados los conceptos de modelos dinámicos y su utilidad en el desarrollo de sensores inteligentes, es momento de poner a prueba tu conocimiento. Para ello tomaremos como caso de estudio un sistema masa-resorte-amortiguador (MRA), el cual permite describir la dinámica de sensores como galgas extensiométricas y acelerómetros, entre muchos otros. La dinámica del sistema MRA está dada por la siguiente ecuación diferencial

donde

es la posición o desplazamiento,

es la velocidad, y

la aceleración. Además, los parámetros de la ODE son: la masa m, el coeficiente amortiguamiento b y la constante del resorte k, así como con la fuerza aplicada

Actividad

Obtenga la función de transferencia de la ODE.
Obtenga el modelo en espacio de estados de la ODE.
Simule la respuesta de ambos modelos considerando que los parámetros son m = 0.02, b=0.1 y k=20 y la entrada es un escalón de amplitud 5.
Investigue algunas aplicaciones de acelerómetros.

Referencias

[1] Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de control moderna (5.ª edición). Pearson Educación, 2010.

[2] Bhuyan, M. (2011). Intelligent Instrumentation: Principles and Applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8953-0.

[3] Principles of System Identification: Theory and Practice — Arun K. Tangirala, CRC Press, 2015.

[4] System Identification Toolbox for Use with MATLAB: User's Guide — Lennart Ljung, MathWorks, 2004.